問題 4

サイクルの熱効率ηに関する解説

熱機関の熱効率ηは、熱機関が受け取った熱量に対して、どれだけの仕事を出力できたかを示す指標です。熱サイクルにおいては、作動流体が外部から熱を受け取り、外部へ仕事を供給し、そして外部へ熱を放出するというプロセスを繰り返します。

適用すべき公式

熱機関の熱効率ηは、以下の公式で定義されます。

• η = (出力仕事 W) / (供給熱量 Q_H)

熱サイクルにおいて、サイクル中に作動流体が外部から受け取った総熱量 Q_H と、外部へ放出した総熱量 Q_L の差が、サイクル中に行われた正味の仕事 W に等しくなります。

• W = Q_H - Q_L

この関係を熱効率の定義式に代入すると、以下のようになります。

• η = (Q_H - Q_L) / Q_H

さらに、この式は次のように変形することもできます。

• η = 1 - (Q_L / Q_H)

計算過程

今回の設問「i) それぞれのサイクルにおいて、$Q_H$の熱が供給され、$Q_L$の熱が放出されるとき、サイクルの熱効率ηは、式η =【1】と表される。」に対する解答は、上記の定義に基づきます。

提示された解答群から、熱効率ηの定義に合致する最も適切な式を選択します。

• もし解答群に (Q_H - Q_L) / Q_H があれば、これが正解となります。

この式は、熱機関が供給された熱量Q_Hのうち、どれだけが仕事として取り出され（Q_H - Q_L）、残りが廃熱Q_Lとして放出されたかを示しています。したがって、【1】には (Q_H - Q_L) / Q_H が入ります。

今回の【1】の正解が「イ」であると示されていますので、「イ」の選択肢が (Q_H - Q_L) / Q_H に該当すると考えられます。

この設問は熱効率の定義を問うものであり、具体的な数値計算は含まれないため、単位変換等の計算過程の説明は不要です。

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T-s線図と熱量変化の基礎

T-s線図において、ある過程で加えられる（または放出される）熱量 Q は、その過程の曲線と横軸（エントロピー軸）で囲まれた面積に相当します。これは、可逆過程における熱力学の基本原理に基づいています。T-s線図の面積は、温度 T とエントロピー変化 Δs の積（TΔs）として熱量を表すため、視覚的に熱量変化を理解する上で非常に重要です。

• 曲線が上にあるほど温度が高く、その下の面積が大きくなるため、より多くの熱量変化を示します。
• 加熱過程（エントロピー s が増加する過程）では、曲線とs軸で囲まれる面積が供給熱量 Q_H を表します。
• 放熱過程（エントロピー s が減少する過程）では、曲線とs軸で囲まれる面積が放熱量 Q_L を表します。

オットーサイクルとディーゼルサイクルにおける各過程の熱量について、図3(B)のT-s線図を用いて確認します。

• オットーサイクル (a-b'-c-d-a)
• b'→c 過程：等積加熱による熱供給 Q_H。この熱量は、曲線b'-cとs軸（点fと点eを結ぶ線分）で囲まれる面積、すなわち多角形f-b'-c-e-fに相当します。
• d→a 過程：等積放熱による熱放出 Q_L。この熱量は、曲線d-aとs軸（点fと点eを結ぶ線分）で囲まれる面積、すなわち多角形f-a-d-e-fに相当します。
• ディーゼルサイクル (a-b-c-d-a)
• b→c 過程：等圧加熱による熱供給 Q_H。この熱量は、曲線b-cとs軸（点fと点eを結ぶ線分）で囲まれる面積、すなわち多角形f-b-c-e-fに相当します。
• d→a 過程：等積放熱による熱放出 Q_L。この熱量は、曲線d-aとs軸（点fと点eを結ぶ線分）で囲まれる面積、すなわち多角形f-a-d-e-fに相当します。

各解答欄の解説

解答欄 【2】

「両サイクルともに放熱量Q_Lは、図中の【2】で囲まれる部分で同一量である」と問われています。

• 上記の熱力学の原則に基づくと、両サイクル共通の放熱量 Q_L は、過程 d→a の下の面積であるf-a-d-e-fに相当します。これは選択肢の[エ]に該当します。

• しかし、ご提示いただいた「正解」は[カ] f-b'-c-e-fとなっています。

  • [カ] f-b'-c-e-f は、オットーサイクルにおける加熱過程 b'→c の供給熱量 Q_H を表す面積です。したがって、問題文で問われている「放熱量 Q_L」とは異なる概念を指しています。熱力学的に正しい放熱量の面積は[エ]です。このことから、解答欄【2】において、ご提示の「正解」と問題文の意図に齟齬が生じている可能性があります。

解答欄 【3】

「供給熱量Q_Hはオットーサイクルでは【3】で囲まれる部分」と問われています。

• 上記の熱力学の原則に基づくと、オットーサイクルの供給熱量 Q_H は、過程 b'→c の下の面積であるf-b'-c-e-fに相当します。これは選択肢の[カ]に該当します。

• しかし、ご提示いただいた「正解」は[オ] f-b-c-e-fとなっています。

  • [オ] f-b-c-e-f は、ディーゼルサイクルにおける加熱過程 b→c の供給熱量 Q_H を表す面積です。したがって、オットーサイクルの供給熱量とは異なります。熱力学的に正しいオットーサイクルの供給熱量の面積は[カ]です。このことから、解答欄【3】においても、ご提示の「正解」と問題文の意図に齟齬が生じている可能性があります。

解答欄 【4】

「供給熱量Q_Hはディーゼルサイクルでは【4】で囲まれる部分」と問われています。

• 上記の熱力学の原則に基づくと、ディーゼルサイクルの供給熱量 Q_H は、過程 b→c の下の面積であるf-b-c-e-fに相当します。これは選択肢の[オ]に該当します。

• ご提示いただいた「正解」も[オ]であり、これは熱力学の定義と一致します。多角形 f-b-c-e-f は、曲線b-cとs軸（線分f-e）で囲まれた台形の面積であり、ディーゼルサイクルにおける等圧加熱過程 b→c での供給熱量を正しく表しています。

他の選択肢が不適切な理由

• [ア] a-b-c-d-a：ディーゼルサイクル全体の囲む面積であり、サイクルが外界にした正味の仕事量（W_{net} = Q_H - Q_L）を表します。これは供給熱量や放熱量そのものではありません。
• [イ] a-b'-c-d-a：オットーサイクル全体の囲む面積であり、サイクルが外界にした正味の仕事量（W_{net} = Q_H - Q_L）を表します。これも供給熱量や放熱量そのものではありません。
• [ウ] b'-b-c-b'：オットーサイクルとディーゼルサイクルのP-v線図における仕事量の差の一部に相当する領域ですが、T-s線図上では特定の熱量や仕事量を直接的に示す面積ではありません。

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1. ディーゼルサイクルの理論熱効率の計算

ここでは、ディーゼルサイクルの理論熱効率を求めるための各状態量の計算と、最終的な熱効率の計算を解説します。

前提条件

• 吸気温度 $T_1 = 300\text{K}$
• 吸気圧力 $P_1 = 0.1\text{MPa}$
• 最大温度 $T_3 = 2660\text{K}$
• 最大圧力 $P_3 = 4.43\text{MPa}$
• 比熱比 $\kappa = 1.4$

(1) 圧縮比 $\varepsilon$ の算出

状態点1から状態点2への変化は、断熱圧縮です。この過程では、理想気体の断熱変化の関係式が適用されます。

適用公式：

• 断熱変化における圧力と比体積の関係: $P v^\kappa = \text{一定}$
• 圧縮比 $\varepsilon = v_1 / v_2$

上記の公式から、$P_1 v_1^\kappa = P_2 v_2^\kappa$ が成り立ちます。この式を変形すると、$P_2 / P_1 = (v_1 / v_2)^\kappa = \varepsilon^\kappa$ となります。これが設問の【7】に該当する関係式です。

問題文より、$P_2 = P_3$ とされており、最大圧力 $P_3 = 4.43\text{MPa}$、初期圧力 $P_1 = 0.1\text{MPa}$ が与えられています。これらの値を代入します。

計算過程：

$ \varepsilon^\kappa = P_3 / P_1 $

$ \varepsilon^{1.4} = 4.43\text{MPa} / 0.1\text{MPa} $

$ \varepsilon^{1.4} = 44.3 $

ここで、与えられた「指数計算の値」の表を参照します。$X^{1.4}$ の行で、$X^{1.4} = 44.31$ に最も近い値は $X=15$ です。したがって、$\varepsilon = 15$ となります。

解答は【A】×10 の形式で求められているため、

$ 15 = \text{【A】} \times 10 $

$ \text{【A】} = 15 / 10 = 1.50 $

したがって、【A】1.50 となります。

(2) 圧縮後の温度 $T_2$ の算出

状態点1から状態点2への断熱圧縮では、温度と比体積の間にも以下の関係式が成り立ちます。

適用公式：

• 断熱変化における温度と比体積の関係: $T v^{\kappa-1} = \text{一定}$

上記の公式から、$T_1 v_1^{\kappa-1} = T_2 v_2^{\kappa-1}$ が成り立ちます。この式を変形すると、$T_2 / T_1 = (v_1 / v_2)^{\kappa-1} = \varepsilon^{\kappa-1}$ となります。したがって、$T_2 = T_1 \varepsilon^{\kappa-1}$ が設問の【8】に該当する関係式です。

初期温度 $T_1 = 300\text{K}$、圧縮比 $\varepsilon = 15$、比熱比 $\kappa = 1.4$ を代入します。

計算過程：

$ T_2 = T_1 \varepsilon^{\kappa-1} $

$ T_2 = 300\text{K} \times 15^{(1.4-1)} $

$ T_2 = 300\text{K} \times 15^{0.4} $

「指数計算の値」の表を参照します。$X^{0.4}$ の行で、$X=15$ の値は $2.954$ です。

$ T_2 = 300\text{K} \times 2.954 = 886.2\text{K} $

解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するため、$886\text{K}$ となります。

解答は【B】×$10^2$[K] の形式で求められているため、

$ 886 = \text{【B】} \times 10^2 $

$ \text{【B】} = 886 / 100 = 8.86 $

したがって、【B】8.86 となります。

(3) 締切比 $\sigma$ の算出

締切比 $\sigma$ は、定圧加熱終了時の温度 $T_3$ と定圧加熱開始時の温度 $T_2$ の比で定義されます。

適用公式：

• 締切比 $\sigma = T_3 / T_2$

最大温度 $T_3 = 2660\text{K}$、計算で求めた $T_2 = 886\text{K}$ を代入します。

計算過程：

$ \sigma = T_3 / T_2 $

$ \sigma = 2660\text{K} / 886\text{K} \approx 3.002257 $

解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するため、$3.00$ となります。

したがって、【C】3.00 となります。

(4) 膨張後の温度 $T_4$ の算出

問題文に「$T_4 = \sigma^\kappa T_1$ が成り立つ」と示されています。この式を用いて $T_4$ を計算します。

適用公式：

• $T_4 = \sigma^\kappa T_1$

初期温度 $T_1 = 300\text{K}$、締切比 $\sigma = 3.00$、比熱比 $\kappa = 1.4$ を代入します。

計算過程：

$ T_4 = \sigma^\kappa T_1 $

$ T_4 = (3.00)^{1.4} \times 300\text{K} $

「指数計算の値」の表を参照します。$X^{1.4}$ の行で、$X=3$ の値は $4.656$ です。

$ T_4 = 4.656 \times 300\text{K} = 1396.8\text{K} $

解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するため、$1.40 \times 10^3\text{K}$ となります。

解答は【D】×$10^3$[K] の形式で求められているため、

$ 1396.8 = \text{【D】} \times 10^3 $

$ \text{【D】} = 1396.8 / 1000 = 1.3968 $

四捨五入して、$\text{【D】} \approx 1.40 $

したがって、【D】1.40 となります。

(5) ディーゼルサイクルの熱効率 $\eta_D$ の算出

ディーゼルサイクルの理論熱効率 $\eta_D$ は、圧縮比 $\varepsilon$、比熱比 $\kappa$、締切比 $\sigma$ を用いて以下の式で表されます。

適用公式：

• $ \eta_D = 1 - \frac{1}{\varepsilon^{\kappa-1}} \frac{\sigma^\kappa - 1}{\kappa(\sigma - 1)} $

これが設問の【9】に該当する関係式です。

これまでに求めた値 $\varepsilon = 15$、$\kappa = 1.4$、$\sigma = 3.00$ を代入します。

計算過程：

まず、各項を計算します。

• $ \varepsilon^{\kappa-1} = 15^{(1.4-1)} = 15^{0.4} = 2.954 $ （表から）
• $ \sigma^\kappa = 3.00^{1.4} = 4.656 $ （表から）
• $ \sigma - 1 = 3.00 - 1 = 2.00 $
• $ \kappa(\sigma - 1) = 1.4 \times 2.00 = 2.8 $
• $ \sigma^\kappa - 1 = 4.656 - 1 = 3.656 $

これらの値を効率の式に代入します。

$ \eta_D = 1 - \frac{1}{2.954} \times \frac{3.656}{2.8} $

$ \eta_D = 1 - \frac{1}{2.954} \times 1.305714... $

$ \eta_D = 1 - 0.441947... $

$ \eta_D = 0.558052... $

解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するため、$0.558$ となります。

解答は【E】×$10^{-1}$ の形式で求められているため、

$ 0.558 = \text{【E】} \times 10^{-1} $

$ \text{【E】} = 0.558 \times 10 = 5.58 $

したがって、【E】5.58 となります。

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オットーサイクルの熱効率計算

本設問は、小問4に続くディーゼルサイクルとの比較問題であり、前提条件および小問4で計算された一部の値を引き継いで解答を導きます。

1. オットーサイクルの熱効率式（【10】）

オットーサイクルでは、以下の熱力学的過程を経て作動流体がサイクルを循環します。

• 1 → 2：断熱圧縮（等エントロピー圧縮）
• 2 → 3：等容加熱（$Q_H$供給）
• 3 → 4：断熱膨張（等エントロピー膨張）
• 4 → 1：等容放熱（$Q_L$放出）

サイクルの熱効率$\eta_O$は、供給熱量$Q_H$と放熱量$Q_L$を用いて、一般的な熱効率の定義式で表されます。

適用すべき公式：
$\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$

作動流体が理想気体であると仮定し、定積比熱を$c_v$とすると、各熱量は以下のようになります。

• 供給熱量 $Q_H = c_v (T_3 - T_2)$
• 放熱量 $Q_L = c_v (T_4 - T_1)$

これらの式を熱効率の定義式に代入します。

$\eta_O = 1 - \frac{c_v (T_4 - T_1)}{c_v (T_3 - T_2)}$
$\eta_O = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$

さらに、オットーサイクルにおける断熱変化の条件から、$T_1/T_2 = T_4/T_3$ が成り立ちます。この条件を加味して熱効率式を整理すると、以下のようになります。

• 断熱圧縮（1→2）：$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa-1} = \epsilon^{\kappa-1}$
• 断熱膨張（3→4）：$\frac{T_3}{T_4} = \left(\frac{v_4}{v_3}\right)^{\kappa-1}$

オットーサイクルは等容加熱（2→3）および等容放熱（4→1）であるため、$v_2 = v_3$ および $v_1 = v_4$ です。したがって、圧縮比を$\epsilon = v_1/v_2$とすると、$v_4/v_3 = \epsilon$となります。

よって、$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4} = \epsilon^{\kappa-1}$ が成り立ちます。

この関係（$T_1/T_2 = T_4/T_3$ または $T_2/T_1 = T_3/T_4$）を利用して、上記の熱効率式をさらに整理することもできますが、設問の文脈から「1)で求めた効率算定式の熱量を各状態点の温度と比熱から計算し、さらに断熱変化による条件$T_1/T_2 = T_4/T_3$を加味して整理すると、式$\eta_O$=【10】で表され」とあるため、$T_4, T_1, T_3, T_2$ を用いた形が求められます。

したがって、【10】の正解は、イ ($1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$) となります。

2. オットーサイクルの熱効率の値（【F】）の計算

熱効率を計算するために、各状態点の温度を求めます。

与えられた前提条件：

• 吸気温度 $T_1 = 300$ K
• 最大温度 $T_3 = 2660$ K
• 比熱比 $\kappa = 1.4$

小問4からの引き継ぎ条件：

「この条件では、オットーサイクルの放熱量はディーゼルサイクルと同じなので、$T_4$はディーゼルサイクルと同じである。」

小問4において、ディーゼルサイクルの$T_4$は $T_4 = \sigma^\kappa T_1$ で求められ、その値は1.40×$10^3$[K]と示されていました。しかし、この値は途中計算で丸められた結果であり、より厳密な計算ではその前の値を用いる必要があります。小問4の解答【C】より締切比$\sigma=3.00$、表より$3.00^{1.4}=4.656$が与えられています。

計算過程：
$T_4 = \sigma^\kappa T_1 = 3.00^{1.4} \times 300 \text{ K}$
$T_4 = 4.656 \times 300 \text{ K}$
$T_4 = 1396.8 \text{ K}$

この $T_4 = 1396.8 \text{ K}$ をオットーサイクルの計算に用います。

$T_2$の計算：

オットーサイクルの断熱変化の条件から、$T_1/T_2 = T_4/T_3$ が成り立ちます。この関係を用いて、$T_2$を計算します。

適用すべき公式：
$T_2 = T_1 \frac{T_3}{T_4}$

値を代入して$T_2$を計算します。

$T_2 = 300 \text{ K} \times \frac{2660 \text{ K}}{1396.8 \text{ K}}$
$T_2 \approx 300 \times 1.9043528... \text{ K}$
$T_2 \approx 571.30584 \text{ K}$

熱効率$\eta_O$の計算：

求めた各温度を熱効率の式に代入します。

適用すべき公式：
$\eta_O = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$

$\eta_O = 1 - \frac{1396.8 \text{ K} - 300 \text{ K}}{2660 \text{ K} - 571.30584 \text{ K}}$
$\eta_O = 1 - \frac{1096.8 \text{ K}}{2088.69416 \text{ K}}$
$\eta_O = 1 - 0.525164...$
$\eta_O = 0.474835...$

この値を「【F】×$10^{-1}$」の形式で表し、解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入します。

$0.474835... = 4.74835... \times 10^{-1}$

【F】に当てはまる数値は$4.74835...$です。解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するとのことなので、有効数字3桁と判断し、小数点以下第2位の「4」が最小位、その一つ下の位である小数点以下第3位の「8」を四捨五入します。

$4.74835... \rightarrow 4.75$

したがって、【F】の正解は 4.75 となります。

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