問題 4

次の各文章の【1】～【6】の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。 また、【A】～【H】に当てはまる数値を計算し、その結果を答えよ。ただし、解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入すること。（配点計50点） 図のように、質量が$M_p$ [t] の円盤状のピストンが付いた十分高い円筒状のタンクがあり、内部には質量$m$が100kg、温度$T_0$が300 Kで理想気体と見なされる空気が充填されている。ピストンはその自重とバランスした状態で静止しており、そのときのピストン周囲の圧力$P_e$は100kPa、タンク内の空気の圧力$P_0$は105kPaであった。また、円筒状のタンクの底面積及びピストンの面積は共に10m²であり、ピストンは全く変形せずに可逆的に自由かつ円滑に上下に移動するものとし、移動による空気の漏えいもないものとする。 このとき、図に示すようにピストンが静止している初期の状態（状態0）から、ピストンを外から力を加えて動かない状態にして定容で加熱し（状態1）、その後ピストンを外力なしにバランスするまで可逆断熱変化させた状態（状態2）へ移行する過程について考える。 ここで、空気の圧力をP、体積をV、絶対温度をTとし、各状態の状態量を表す記号にはその状態番号を添え字として用いる。また、空気のガス定数Rを0.2872 kJ/(kg·K)、比熱比$\kappa$を1.4とし、共に温度によらず一定値とする。なお、重力の加速度gを9.81m/s²とし、対数計算及び指数計算には表1及び表2の値を用いることとする。 **図 ピストン付き円筒状タンクの状態変化の過程** (図は状態0、状態1、状態2の3つの状態を示している) 状態0：初期状態。ピストンは自重と圧力で釣り合っている。 状態1：定容加熱後。ピストンは外力で固定され、加熱されている。 状態2：可逆断熱変化後。ピストンは外力なしで釣り合っている。 1) まず、図の状態0で示される初期状態について考える。 i) ピストン自体の質量$M_p$を知る。 周囲圧力$P_e$[Pa]があるので、ピストンの質量$M_p$と釣り合う圧力は×$10^3$[Pa]である。ピストン面積が10m²であることから、$M_p$は[t]であることが分かる。 ii) タンク内の空気の体積$V_0$は、式$V_0$=【 1 】から、[$m^3$]となる。

2) 次に、状態0から、図の状態1で示されるピストンを動かないようにして加熱したときの変化について考える。 ピストンを固定し、タンク内の空気の体積を一定に保ったまま外部から熱を加えた結果、内部圧力$P_1$[Pa]が初期圧力$P_0$の1.2倍に上昇した。このときのタンク内の空気の温度$T_1$は、状態方程式から[K]となる。また、定容比熱$c_v$はRと$\kappa$を用いて、式$c_v$=【 2 】として求められるので、空気に与えられた熱量$Q$は×$10^6$[J]となる。 この定容変化の過程では、エントロピーの増減については【 3 】となり、その変化量については、空気の比エントロピー変化量$\Delta s$が、式$\Delta s$=【 4 】で表されるので、質量mが100kgの空気ではその値は×$10^4$[J/K]となる。

3) 最後に、状態1から、図の状態2でピストンを動けるようにしたときの変化について考える。 状態1からピストンを動けるようにして、破線で示すようにタンク内の圧力$P_2$[Pa]が初期圧力$P_0$と等しくなるまで可逆断熱変化させた。 この変化前後におけるタンク内の空気の圧力Pと体積Vの関係は【 5 】の条件が適用でき、変化後のタンク内の体積$V_2$は[$m^3$]となる。 この変化が外部に対して成した仕事Wは、「圧力×体積」の変化すなわち式【 6 】に、比熱比$\kappa$の関係式$\frac{1}{1-\kappa}$を乗じることで求めることができ、×$10^6$[J]となる。