問題 7

次の各文章の【1】～【9】の中に入れるべき最も適切な字句等をそれぞれの解答群から選び、その記号を答えよ。 また、【A a.b×$10^c$】～【D a.b】に当てはまる数値を計算し、その結果を答えよ。ただし、解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入すること。(配点計50点) (1) 円管内の十分発達した流れの対流伝熱について考える。 滑らかな円管内を流れる流体の十分発達した流れの熱伝達率は、流れの様相によって異なり、壁面温度一定の場合、熱伝達率を求めるための無次元数の関係は次の式で表されることが知られている。 層流の場合： $Nu$ = 3.66 乱流の場合： $Nu = 0.023 Re^{0.8} Pr^{\frac{1}{3}}$ (コルバーンの式) ただし、Nuはヌセルト数、Reはレイノルズ数、Prはプラントル数である。 いま、温度が120℃の水蒸気雰囲気の中に、内直径Dが50.0mmで肉厚が極めて薄い円管が置かれており、管内を平均流速w[m/s]で空気が流れている。空気の各物性値は次のとおりであり、温度に関わらず一定とする。 密度 $\rho$ : 1.18 kg/$m^3$ 定圧比熱 $c_p$ : 1.00 kJ/(kg·K) 熱伝導率 $\lambda$ : 0.0270 W/(m·K) 動粘度 $\nu$ : 1.61×$10^{-5}$ $m^2$/s プラントル数 Pr : 0.720 ($Pr^{\frac{1}{3}}$=0.896) 円管壁の熱伝導は十分大きく、円管と水蒸気の間の熱伝達率は十分大きいと考え、円管外壁温度と内壁温度は共に水蒸気温度と等しいとする。 1) 熱伝達率を$\alpha$とすると、ヌセルト数Nuの定義は、式Nu = 【 1 】であり、円管内を流れる空気のレイノルズ数Reの定義は、式Re = 【 2 】である。管内の平均流速wを2.00m/sとすると、レイノルズ数Reの値は × 10となる。 管内流が層流か乱流かを判断する臨界レイノルズ数の値は、【 3 】程度であるため、円管の入口から流れが発達していると仮定すると、管内の流れは【 4 】である。この場合には、ヌセルト数Nuの値は × 10となり、熱伝達率$\alpha$の値は × 10[W/($m^2$·K)]となる。 2) 空気の入口温度が10℃のとき、出口温度が30℃になるような円管の長さLを求めたい。簡略化のために管壁と空気流の伝熱量については算術平均温度差を用いて計算すると考えると、管壁と空気の間の算術平均温度差は【 5 】[℃]である。円管の長さは、管内の空気流が受け取る熱と管壁からの伝熱量が等しいという関係式から求めることができ、Lの値は×$10^1$[m]となる。 なお、指数の計算が必要なときは表の数値を使用すること。 **表 指数計算の値** | X | 3.70 | 3.11×$10^3$ | 6.21×$10^3$ | 1.24×$10^5$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $X^{0.8}$ | 2.85 | 6.23×$10^2$ | 1.08×$10^3$ | 1.19×$10^4$ |

(2) 円筒における熱伝導について考える。 図のような内半径$r_1$、外半径$r_2$の無限に長い円筒があり、その内表面温度が$T_1$、外表面温度が$T_2$である。軸方向に長さLの円筒を考え、図中の破線で示す半径rで温度がTの円筒面を内側から外側に向けて通過する熱流量をQとする。円筒の熱伝導率を$\lambda$として、熱伝導に関する【 6 】の式を適用すると、熱は温度が下降する方向に流れるので、Qは次式で表される。 Q = 【 7 】 ① 温度分布が定常であるとすると、Qはrによらず一定と見なすことができ、この式を積分して、次に示す境界条件からQや積分定数を定めることができる。 境界条件1：$r=r_1$で$T=T_1$ 境界条件2：$r=r_2$で$T=T_2$ 式①は変数分離型の微分方程式の形をしているので、両辺を積分できる形に変形し、積分して積分定数をCとすると、次式を得る。 $Q \ln r = -2 \pi \lambda L T + C$ ② 式②に境界条件1を代入した式と境界条件2を代入した式を書き、2つの式の差をとってCを消去すると、Qを$r_1, r_2, T_1, T_2, \lambda, L$を使って表すことができ、次式となる。 Q = 【 8 】 ③ 同様に、半径rの点の温度Tは、$r, r_1, r_2, T_1, T_2$を使って表すと、次式となる。 T = 【 9 】 ④