解説 - 問題 5

この設問は、蒸気原動所のランキンサイクルにおける各状態点の状態量を求め、それを用いて理論熱効率を計算するものです。P-v線図と熱物性表（表1、表2）を基に計算を進めます。

P-v線図より、状態点3から状態点4への変化はタービンにおける断熱膨張過程であり、理想的には等エントロピー膨張とみなされます。したがって、状態点4の比エントロピーは状態点3の比エントロピーと等しくなります。

• 適用公式：

  湿り蒸気領域における比エントロピー $s$ と乾き度 $x$ の関係式は以下の通りです。

  $s = s' + x(s'' - s')$

  ここで、$s'$ は飽和液の比エントロピー、$s''$ は乾き飽和蒸気の比エントロピーです。

• 状態量の読み取り：

  まず、状態点3の比エントロピー $s_3$ を表2から読み取ります。圧力 $P_3 = 7.000$ MPa、温度 $T_3 = 400$ ℃の過熱蒸気の状態点です。

  $s_3 = 6.453 \ 6 \ [\text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})]$

  次に、状態点4の圧力 $P_4 = 0.010$ MPa における飽和液の比エントロピー $s'_{0.010}$ と乾き飽和蒸気の比エントロピー $s''_{0.010}$ を表1から読み取ります。

  $s'_{0.010} = 0.649 \ 3 \ [\text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})]$

  $s''_{0.010} = 8.151 \ 1 \ [\text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})]$

• 計算過程：

  等エントロピー膨張なので、$s_4 = s_3$ です。

  $s_4 = 6.453 \ 6 \ [\text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})]$

  この値を乾き度の関係式に代入して、$x_4$ を求めます。

  $6.453 \ 6 = 0.649 \ 3 + x_4 (8.151 \ 1 - 0.649 \ 3)$

  $6.453 \ 6 = 0.649 \ 3 + x_4 (7.501 \ 8)$

  $x_4 = \frac{6.453 \ 6 - 0.649 \ 3}{7.501 \ 8}$

  $x_4 = \frac{5.804 \ 3}{7.501 \ 8}$

  $x_4 \approx 0.773 \ 720 \dots$

  解答は「【A】×$10^{-1}$」の形式で求められており、通常は小数点以下3桁程度で示されます。最小位の一つ下の位で四捨五入するため、小数点以下4桁目を四捨五入します。

  $x_4 \approx 0.774$

  これを指定の形式にすると、

  $x_4 = 7.74 \times 10^{-1}$

• 解答：

  したがって、【A】 = 7.74

• 適用公式：

  湿り蒸気領域における比エンタルピー $h$ と乾き度 $x$ の関係式は以下の通りです。

  $h = h' + x(h'' - h')$

  ここで、$h'$ は飽和液の比エンタルピー、$h''$ は乾き飽和蒸気の比エンタルピーです。

• 状態量の読み取り：

  状態点4の圧力 $P_4 = 0.010$ MPa における飽和液の比エンタルピー $h'_{0.010}$ と乾き飽和蒸気の比エンタルピー $h''_{0.010}$ を表1から読み取ります。

  $h'_{0.010} = 191.8 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$

  $h''_{0.010} = 2584.8 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$

  乾き度 $x_4$ は上記の計算結果 $0.773 \ 72$ を用います。

• 計算過程：

  これらの値を関係式に代入して、$h_4$ を求めます。

  $h_4 = 191.8 + 0.773 \ 72 \times (2584.8 - 191.8)$

  $h_4 = 191.8 + 0.773 \ 72 \times 2393.0$

  $h_4 = 191.8 + 1851.362 \ 56$

  $h_4 \approx 2043.162 \ 56 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$

  解答は「【B】 \times 10^{【b】}[kJ/kg]」の形式で示されており、【B】= 2.04E+03 が与えられています。これは $2.04 \times 10^3 = 2040$ kJ/kg を意味します。計算結果をこの形式に合わせるため、有効数字3桁で四捨五入します。

  $h_4 \approx 2040 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$

  これを指定の形式にすると、$h_4 = 2.04 \times 10^3 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$ となります。

• 解答：

  したがって、【B】 = 2.04E+03

• 適用公式：

  ランキンサイクルの理論熱効率 $\eta_S$ は、サイクル全体の正味仕事量を投入熱量で割ることで求められます。

  $\eta_S = \frac{\text{タービン仕事量} - \text{ポンプ仕事量}}{\text{ボイラ加熱量}}$

  エンタルピーを用いて表すと以下の通りです。

  $\eta_S = \frac{(h_3 - h_4) - (h_2 - h_1)}{(h_3 - h_2)}$

• 各状態点の比エンタルピー：

  これまでに求めた、または表から読み取った各状態点の比エンタルピーをまとめます。

  • $h_1$: 状態点1（P=0.010 MPaの飽和液）を表1から読み取ります。
    $h_1 = h'_{0.010} = 191.8 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$
  • $h_2$: 状態点2（P=7.000 MPa、v=0.001 010 m$^3$/kg の圧縮液）を表2から読み取ります。
    $h_2 = 221.1 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$
  • $h_3$: 状態点3（P=7.000 MPa、T=400 ℃の過熱蒸気）を表2から読み取ります。
    $h_3 = 3161.2 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$
  • $h_4$: 状態点4（上記計算結果）は、$2043.162 \ 56 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$ を用います。（丸める前の値を使用）

• 計算過程：

  各仕事量と加熱量を計算します。

  • タービン仕事量 $W_T = h_3 - h_4 = 3161.2 - 2043.162 \ 56 = 1118.037 \ 44 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$
  • ポンプ仕事量 $W_P = h_2 - h_1 = 221.1 - 191.8 = 29.3 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$
  • ボイラ加熱量 $Q_H = h_3 - h_2 = 3161.2 - 221.1 = 2940.1 \ [\text{kJ}/\text{kg}]$

  これらの値を熱効率の式に代入します。

  $\eta_S = \frac{1118.037 \ 44 - 29.3}{2940.1}$

  $\eta_S = \frac{1088.737 \ 44}{2940.1}$

  $\eta_S \approx 0.370 \ 302 \dots$

  解答は「【C】×$10^{-1}$」の形式で求められており、通常は小数点以下2桁程度で示されます。最小位の一つ下の位で四捨五入するため、小数点以下4桁目を四捨五入します。

  $\eta_S \approx 0.37$

  これを指定の形式にすると、

  $\eta_S = 3.7 \times 10^{-1}$

• 解答：

  したがって、【C】 = 3.7