解説 - 問題 4

オットーサイクルの熱効率計算

本設問は、小問4に続くディーゼルサイクルとの比較問題であり、前提条件および小問4で計算された一部の値を引き継いで解答を導きます。

オットーサイクルでは、以下の熱力学的過程を経て作動流体がサイクルを循環します。

• 1 → 2：断熱圧縮（等エントロピー圧縮）
• 2 → 3：等容加熱（$Q_H$供給）
• 3 → 4：断熱膨張（等エントロピー膨張）
• 4 → 1：等容放熱（$Q_L$放出）

サイクルの熱効率$\eta_O$は、供給熱量$Q_H$と放熱量$Q_L$を用いて、一般的な熱効率の定義式で表されます。

適用すべき公式：
$\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$

作動流体が理想気体であると仮定し、定積比熱を$c_v$とすると、各熱量は以下のようになります。

• 供給熱量 $Q_H = c_v (T_3 - T_2)$
• 放熱量 $Q_L = c_v (T_4 - T_1)$

これらの式を熱効率の定義式に代入します。

$\eta_O = 1 - \frac{c_v (T_4 - T_1)}{c_v (T_3 - T_2)}$
$\eta_O = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$

さらに、オットーサイクルにおける断熱変化の条件から、$T_1/T_2 = T_4/T_3$ が成り立ちます。この条件を加味して熱効率式を整理すると、以下のようになります。

• 断熱圧縮（1→2）：$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa-1} = \epsilon^{\kappa-1}$
• 断熱膨張（3→4）：$\frac{T_3}{T_4} = \left(\frac{v_4}{v_3}\right)^{\kappa-1}$

オットーサイクルは等容加熱（2→3）および等容放熱（4→1）であるため、$v_2 = v_3$ および $v_1 = v_4$ です。したがって、圧縮比を$\epsilon = v_1/v_2$とすると、$v_4/v_3 = \epsilon$となります。

よって、$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4} = \epsilon^{\kappa-1}$ が成り立ちます。

この関係（$T_1/T_2 = T_4/T_3$ または $T_2/T_1 = T_3/T_4$）を利用して、上記の熱効率式をさらに整理することもできますが、設問の文脈から「1)で求めた効率算定式の熱量を各状態点の温度と比熱から計算し、さらに断熱変化による条件$T_1/T_2 = T_4/T_3$を加味して整理すると、式$\eta_O$=【10】で表され」とあるため、$T_4, T_1, T_3, T_2$ を用いた形が求められます。

したがって、【10】の正解は、イ ($1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$) となります。

熱効率を計算するために、各状態点の温度を求めます。

与えられた前提条件：

• 吸気温度 $T_1 = 300$ K
• 最大温度 $T_3 = 2660$ K
• 比熱比 $\kappa = 1.4$

小問4からの引き継ぎ条件：

「この条件では、オットーサイクルの放熱量はディーゼルサイクルと同じなので、$T_4$はディーゼルサイクルと同じである。」

小問4において、ディーゼルサイクルの$T_4$は $T_4 = \sigma^\kappa T_1$ で求められ、その値は1.40×$10^3$[K]と示されていました。しかし、この値は途中計算で丸められた結果であり、より厳密な計算ではその前の値を用いる必要があります。小問4の解答【C】より締切比$\sigma=3.00$、表より$3.00^{1.4}=4.656$が与えられています。

計算過程：
$T_4 = \sigma^\kappa T_1 = 3.00^{1.4} \times 300 \text{ K}$
$T_4 = 4.656 \times 300 \text{ K}$
$T_4 = 1396.8 \text{ K}$

この $T_4 = 1396.8 \text{ K}$ をオットーサイクルの計算に用います。

$T_2$の計算：

オットーサイクルの断熱変化の条件から、$T_1/T_2 = T_4/T_3$ が成り立ちます。この関係を用いて、$T_2$を計算します。

適用すべき公式：
$T_2 = T_1 \frac{T_3}{T_4}$

値を代入して$T_2$を計算します。

$T_2 = 300 \text{ K} \times \frac{2660 \text{ K}}{1396.8 \text{ K}}$
$T_2 \approx 300 \times 1.9043528... \text{ K}$
$T_2 \approx 571.30584 \text{ K}$

熱効率$\eta_O$の計算：

求めた各温度を熱効率の式に代入します。

適用すべき公式：
$\eta_O = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$

$\eta_O = 1 - \frac{1396.8 \text{ K} - 300 \text{ K}}{2660 \text{ K} - 571.30584 \text{ K}}$
$\eta_O = 1 - \frac{1096.8 \text{ K}}{2088.69416 \text{ K}}$
$\eta_O = 1 - 0.525164...$
$\eta_O = 0.474835...$

この値を「【F】×$10^{-1}$」の形式で表し、解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入します。

$0.474835... = 4.74835... \times 10^{-1}$

【F】に当てはまる数値は$4.74835...$です。解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するとのことなので、有効数字3桁と判断し、小数点以下第2位の「4」が最小位、その一つ下の位である小数点以下第3位の「8」を四捨五入します。

$4.74835... \rightarrow 4.75$

したがって、【F】の正解は 4.75 となります。