令和05年エネルギー管理士過去問解説第4問

2) この両サイクルの理論熱効率を求める。ここで、吸気温度$T_1$を300K、吸気圧力$P_1$を0.1MPa、最大温度$T_3$を2660K、最大圧力$P_3$を4.43MPaとし、比熱比κは1.4とする。
i) ディーゼルサイクルの熱効率を求める。
圧縮比ε(=$v_1/v_2$)を求める。状態点1→状態点2は断熱変化なので、式$P_2/P_1$=【7】となり、$P_2=P_3$であることから、εの値は【A】×10となる。さらに、$T_2$はεを用いて、式$T_2$=【8】と表せることから、その値は【B】×$10^2$[K]となる。
これより、締切比σ(=$T_3/T_2$)の値を求めると、【C】となる。また、$T_4 = \sigma^\kappa T_1$が成り立つので、$T_4$は【D】×$10^3$[K]となる。
ディーゼルサイクルの熱効率$\eta_D$は、1)で求めた効率算定式中の熱量$Q_H$及び$Q_L$を、各状態点の温度と比熱を用いて整理すると、式$\eta_D$=【9】で表すことができ、その値を計算すると、【E】×$10^{-1}$と求められる。

[ ア ] $(v_2/v_1)^\kappa$
[ イ ] $(v_1/v_2)^\kappa$ ✓ 正解
[ ウ ] $(v_2/v_1)^{\kappa-1}$
[ エ ] $(v_1/v_2)^{\kappa-1}$
[ オ ] $\epsilon^{\kappa} T_1$
[ カ ] $\epsilon^{\kappa-1} T_1$
[ キ ] $\epsilon^{\frac{\kappa-1}{\kappa}} T_1$
[ ク ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\kappa(T_3-T_2)}$
[ ケ ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\epsilon^{\kappa-1}(T_3-T_2)}$
[ コ ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\kappa\epsilon^{\kappa-1}(T_3-T_2)}$
[ サ ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\sigma\epsilon^{\kappa-1}(T_3-T_2)}$
[ ア ] $(v_2/v_1)^\kappa$
[ イ ] $(v_1/v_2)^\kappa$
[ ウ ] $(v_2/v_1)^{\kappa-1}$
[ エ ] $(v_1/v_2)^{\kappa-1}$
[ オ ] $\epsilon^{\kappa} T_1$
[ カ ] $\epsilon^{\kappa-1} T_1$ ✓ 正解
[ キ ] $\epsilon^{\frac{\kappa-1}{\kappa}} T_1$
[ ク ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\kappa(T_3-T_2)}$
[ ケ ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\epsilon^{\kappa-1}(T_3-T_2)}$
[ コ ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\kappa\epsilon^{\kappa-1}(T_3-T_2)}$
[ サ ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\sigma\epsilon^{\kappa-1}(T_3-T_2)}$
[ ア ] $(v_2/v_1)^\kappa$
[ イ ] $(v_1/v_2)^\kappa$
[ ウ ] $(v_2/v_1)^{\kappa-1}$
[ エ ] $(v_1/v_2)^{\kappa-1}$
[ オ ] $\epsilon^{\kappa} T_1$
[ カ ] $\epsilon^{\kappa-1} T_1$
[ キ ] $\epsilon^{\frac{\kappa-1}{\kappa}} T_1$
[ ク ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\kappa(T_3-T_2)}$ ✓ 正解
[ ケ ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\epsilon^{\kappa-1}(T_3-T_2)}$
[ コ ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\kappa\epsilon^{\kappa-1}(T_3-T_2)}$
[ サ ] $1 - \frac{T_4-T_1}{\sigma\epsilon^{\kappa-1}(T_3-T_2)}$

解説

エネルギー管理士の国家試験対策、お疲れ様です。熱力学の理論サイクル計算は、基礎をしっかり理解していれば得点源になります。今回のディーゼルサイクルの熱効率計算も、一歩ずつ丁寧に見ていきましょう。

【7】圧縮比ε(=v1/v2)を求める。状態点1→状態点2は断熱変化なので、式 P2/P1=【7】

適用すべき公式：
断熱変化（等エントロピー変化）における圧力と比体積の関係は、ポアソンの法則として知られています。

一定Pvκ=一定

この法則を状態点1と状態点2に適用すると、次の関係式が成り立ちます。

P1v1κ=P2v2κ

この式を変形して圧力比 P2/P1 を求めると、

P2/P1=(v1/v2)κ

となります。ここで、圧縮比 ϵ は v1/v2 と定義されていますので、

P2/P1=ϵκ

と表すことができます。

正解の選択肢：

[イ] (v1/v2)κ

他の選択肢が不適切な理由：

[ア] (v2/v1)κ: これは P1/P2 に対応する形であり、圧力比 P2/P1 を求める式としては不適切です。
[ウ] (v2/v1)κ−1、[エ] (v1/v2)κ−1: これらは断熱変化における温度と比体積の関係 (一定Tvκ−1=一定) から導かれる T2/T1 に対応する形であり、圧力比とは異なります。
[オ]～[サ]: これらは温度や熱効率に関する式であり、圧力比を直接表す式ではありません。

【A】εの値は【A】×10となる。

適用すべき公式：
上記の【7】で導出した断熱圧縮の関係式を利用します。

P2/P1=ϵκ

計算過程：
問題文より、以下の値が与えられています。

吸気圧力 P1=0.1 MPa
最大圧力 P3=4.43 MPa
比熱比 κ=1.4

ディーゼルサイクルでは、状態点2→状態点3が定圧加熱であるため、P2=P3 が成り立ちます。したがって、P2=4.43 MPa となります。

これを断熱圧縮の式に代入します。

ϵκ=P2/P1=4.43 MPa/0.1 MPa=44.3

ϵ1.4=44.3

ここで、与えられた「指数計算の表」を参照します。表中の「X1.4」の行を見ると、X=15 のときに X1.4=44.31 となっています。最も近い値を用いると指示されていますので、X=15 を採用します。

したがって、圧縮比 ϵ=15 となります。

解答形式は【A】×10ですので、15=1.50×10 となります。

解答：
【A】 1.50

【8】T2はεを用いて、式 T2=【8】と表せる。

適用すべき公式：
断熱変化（等エントロピー変化）における温度と比体積の関係も、ポアソンの法則の一つです。

一定Tvκ−1=一定

この法則を状態点1と状態点2に適用すると、次の関係式が成り立ちます。

T1v1κ−1=T2v2κ−1

この式を変形して T2 を求めると、

T2=T1(v1/v2)κ−1

となります。ここで、圧縮比 ϵ は v1/v2 と定義されていますので、

T2=T1ϵκ−1

と表すことができます。

正解の選択肢：

[カ] ϵκ−1T1

他の選択肢が不適切な理由：

[ア]～[エ]: これらは (v2/v1)κ など、比体積の比を指数形式にしたものであり、温度 T1 を掛けて温度を求める形ではありません。
[オ] ϵκT1: 指数が κ となっていますが、T-v関係式における指数は κ−1 が正しいです。κ はP-v関係式の指数です。
[キ] ϵκ−1κT1: 指数が (κ−1)/κ となっており、これは断熱変化のT-P関係式 (一定TP(1−κ)/κ=一定) から導かれる形に相当します。T-v関係式を直接用いる場合は κ−1 が正しい指数です。
[ク]～[サ]: これらは熱効率の式であり、温度 T2 を求める式ではありません。

【B】その値は【B】×102[K]となる。

適用すべき公式：
上記の【8】で導出した式を利用します。

T2=T1ϵκ−1

計算過程：
問題文および前段の計算結果より、以下の値がわかっています。

吸気温度 T1=300 K
圧縮比 ϵ=15
比熱比 κ=1.4

まず、指数部分を計算します。

κ−1=1.4−1=0.4

これを式に代入します。

※この解説はAIによって自動生成されています。正確な情報が必要な場合は、公式のテキストや問題集を併せてご確認ください。

解説 - 問題 4

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