解説 - 問題 4

ここでは、ディーゼルサイクルの理論熱効率を求めるための各状態量の計算と、最終的な熱効率の計算を解説します。

• 吸気温度 $T_1 = 300\text{K}$
• 吸気圧力 $P_1 = 0.1\text{MPa}$
• 最大温度 $T_3 = 2660\text{K}$
• 最大圧力 $P_3 = 4.43\text{MPa}$
• 比熱比 $\kappa = 1.4$

状態点1から状態点2への変化は、断熱圧縮です。この過程では、理想気体の断熱変化の関係式が適用されます。

適用公式：

• 断熱変化における圧力と比体積の関係: $P v^\kappa = \text{一定}$
• 圧縮比 $\varepsilon = v_1 / v_2$

上記の公式から、$P_1 v_1^\kappa = P_2 v_2^\kappa$ が成り立ちます。この式を変形すると、$P_2 / P_1 = (v_1 / v_2)^\kappa = \varepsilon^\kappa$ となります。これが設問の【7】に該当する関係式です。

問題文より、$P_2 = P_3$ とされており、最大圧力 $P_3 = 4.43\text{MPa}$、初期圧力 $P_1 = 0.1\text{MPa}$ が与えられています。これらの値を代入します。

計算過程：

$ \varepsilon^\kappa = P_3 / P_1 $

$ \varepsilon^{1.4} = 4.43\text{MPa} / 0.1\text{MPa} $

$ \varepsilon^{1.4} = 44.3 $

ここで、与えられた「指数計算の値」の表を参照します。$X^{1.4}$ の行で、$X^{1.4} = 44.31$ に最も近い値は $X=15$ です。したがって、$\varepsilon = 15$ となります。

解答は【A】×10 の形式で求められているため、

$ 15 = \text{【A】} \times 10 $

$ \text{【A】} = 15 / 10 = 1.50 $

したがって、【A】1.50 となります。

状態点1から状態点2への断熱圧縮では、温度と比体積の間にも以下の関係式が成り立ちます。

適用公式：

• 断熱変化における温度と比体積の関係: $T v^{\kappa-1} = \text{一定}$

上記の公式から、$T_1 v_1^{\kappa-1} = T_2 v_2^{\kappa-1}$ が成り立ちます。この式を変形すると、$T_2 / T_1 = (v_1 / v_2)^{\kappa-1} = \varepsilon^{\kappa-1}$ となります。したがって、$T_2 = T_1 \varepsilon^{\kappa-1}$ が設問の【8】に該当する関係式です。

初期温度 $T_1 = 300\text{K}$、圧縮比 $\varepsilon = 15$、比熱比 $\kappa = 1.4$ を代入します。

計算過程：

$ T_2 = T_1 \varepsilon^{\kappa-1} $

$ T_2 = 300\text{K} \times 15^{(1.4-1)} $

$ T_2 = 300\text{K} \times 15^{0.4} $

「指数計算の値」の表を参照します。$X^{0.4}$ の行で、$X=15$ の値は $2.954$ です。

$ T_2 = 300\text{K} \times 2.954 = 886.2\text{K} $

解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するため、$886\text{K}$ となります。

解答は【B】×$10^2$[K] の形式で求められているため、

$ 886 = \text{【B】} \times 10^2 $

$ \text{【B】} = 886 / 100 = 8.86 $

したがって、【B】8.86 となります。

締切比 $\sigma$ は、定圧加熱終了時の温度 $T_3$ と定圧加熱開始時の温度 $T_2$ の比で定義されます。

適用公式：

• 締切比 $\sigma = T_3 / T_2$

最大温度 $T_3 = 2660\text{K}$、計算で求めた $T_2 = 886\text{K}$ を代入します。

計算過程：

$ \sigma = T_3 / T_2 $

$ \sigma = 2660\text{K} / 886\text{K} \approx 3.002257 $

解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するため、$3.00$ となります。

したがって、【C】3.00 となります。

問題文に「$T_4 = \sigma^\kappa T_1$ が成り立つ」と示されています。この式を用いて $T_4$ を計算します。

適用公式：

• $T_4 = \sigma^\kappa T_1$

初期温度 $T_1 = 300\text{K}$、締切比 $\sigma = 3.00$、比熱比 $\kappa = 1.4$ を代入します。

計算過程：

$ T_4 = \sigma^\kappa T_1 $

$ T_4 = (3.00)^{1.4} \times 300\text{K} $

「指数計算の値」の表を参照します。$X^{1.4}$ の行で、$X=3$ の値は $4.656$ です。

$ T_4 = 4.656 \times 300\text{K} = 1396.8\text{K} $

解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するため、$1.40 \times 10^3\text{K}$ となります。

解答は【D】×$10^3$[K] の形式で求められているため、

$ 1396.8 = \text{【D】} \times 10^3 $

$ \text{【D】} = 1396.8 / 1000 = 1.3968 $

四捨五入して、$\text{【D】} \approx 1.40 $

したがって、【D】1.40 となります。

ディーゼルサイクルの理論熱効率 $\eta_D$ は、圧縮比 $\varepsilon$、比熱比 $\kappa$、締切比 $\sigma$ を用いて以下の式で表されます。

適用公式：

• $ \eta_D = 1 - \frac{1}{\varepsilon^{\kappa-1}} \frac{\sigma^\kappa - 1}{\kappa(\sigma - 1)} $

これが設問の【9】に該当する関係式です。

これまでに求めた値 $\varepsilon = 15$、$\kappa = 1.4$、$\sigma = 3.00$ を代入します。

計算過程：

まず、各項を計算します。

• $ \varepsilon^{\kappa-1} = 15^{(1.4-1)} = 15^{0.4} = 2.954 $ （表から）
• $ \sigma^\kappa = 3.00^{1.4} = 4.656 $ （表から）
• $ \sigma - 1 = 3.00 - 1 = 2.00 $
• $ \kappa(\sigma - 1) = 1.4 \times 2.00 = 2.8 $
• $ \sigma^\kappa - 1 = 4.656 - 1 = 3.656 $

これらの値を効率の式に代入します。

$ \eta_D = 1 - \frac{1}{2.954} \times \frac{3.656}{2.8} $

$ \eta_D = 1 - \frac{1}{2.954} \times 1.305714... $

$ \eta_D = 1 - 0.441947... $

$ \eta_D = 0.558052... $

解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入するため、$0.558$ となります。

解答は【E】×$10^{-1}$ の形式で求められているため、

$ 0.558 = \text{【E】} \times 10^{-1} $

$ \text{【E】} = 0.558 \times 10 = 5.58 $

したがって、【E】5.58 となります。