解説 - 問題 3

今回の設問は、小問3、小問4、小問5の3つです。それぞれ独立した問題として解説します。

この問題は、理想気体の状態変化における体積を求めるものです。圧力、体積、温度の関係を示すボイル・シャルルの法則を適用します。

理想気体のモル数が一定の条件下で、ある状態1から別の状態2へ変化する場合、以下の関係が成り立ちます。

P1V1 / T1 = P2V2 / T2

ここで、

• P1, P2: それぞれ状態1、状態2での圧力 [Pa]
• V1, V2: それぞれ状態1、状態2での体積 [m3]
• T1, T2: それぞれ状態1、状態2での絶対温度 [K]

この式を変形して、変化後の体積V2を求めます。

V2 = V1 × (P1 / P2) × (T2 / T1)

与えられた条件を確認します。

• 状態1（標準状態）：
  • 温度 T1 = 273 K
  • 圧力 P1 = 1.013 × 105 Pa
  • 体積 V1 = 10 m3N (標準状態における体積)
• 状態2（変化後）：
  • 温度 T2 = 400 K
  • 圧力 P2 = 5.1 × 105 Pa
  • 体積 V2 = 【A】 m3 (求める値)

上記の公式にこれらの値を代入します。単位はPa, m3, Kで統一されているため、変換は不要です。

V2 = 10 m3 × (1.013 × 105 Pa / (5.1 × 105 Pa)) × (400 K / 273 K)

まず、圧力比と温度比をそれぞれ計算します。

圧力比 = 1.013 × 105 / (5.1 × 105) = 1.013 / 5.1 ≈ 0.198627

温度比 = 400 / 273 ≈ 1.465201

これらの値を体積V1に乗じます。

V2 = 10 × 0.198627 × 1.465201

V2 ≈ 2.9105 m3

小数点以下第2位までを考慮して四捨五入すると、約2.9 m3となります。

【A】は 2.9 です。

この問題は、乾き燃焼排ガス中の酸素濃度から空気比を求めるものです。簡易式が与えられているので、それを利用します。

乾き燃焼排ガス中の酸素濃度(O2%)から空気比mを求める簡易式は、燃焼用空気中の酸素濃度が約21%(体積割合)であることを利用して、以下の近似式が用いられます。

m = 21 / (21 - O2%)

ここで、O2%は乾き燃焼排ガス中の酸素濃度（体積割合）です。

与えられた条件を確認します。

• 乾き燃焼排ガス中の酸素濃度 O2% = 3.5 % (体積割合)

上記の簡易式にこの値を代入します。

m = 21 / (21 - 3.5)

まず、分母の計算を行います。

21 - 3.5 = 17.5

次に、分子を分母で割ります。

m = 21 / 17.5

m = 1.2

【B】は 1.2 です。

この問題は、管内径が変化する円管内を流れる水の流速の変化を求めるものです。流体の密度が変化しない（非圧縮性流体）定常流なので、連続の式を適用します。

非圧縮性流体の定常流における連続の式は、以下の形で表されます。

A1v1 = A2v2

ここで、

• A1, A2: それぞれ拡大前、拡大後の管の断面積 [m2]
• v1, v2: それぞれ拡大前、拡大後の管内平均流速 [m/s]

円管の断面積Aは、管内径Dを用いてA = πD2 / 4と表されます。

これを連続の式に代入すると、

(πD12 / 4) × v1 = (πD22 / 4) × v2

両辺から共通の定数(π/4)を削除すると、

D12 v1 = D22 v2

この式を変形して、拡大後の流速v2と拡大前の流速v1の関係を求めます。

v2 = v1 × (D1 / D2)2

与えられた条件を確認します。

• 拡大前の管内径を D1 とします。
• 拡大後の管内径は、拡大前の管内径の2倍なので、D2 = 2D1 となります。

上記の公式にこれらの関係を代入します。

v2 = v1 × (D1 / (2D1))2

括弧内の (D1 / (2D1)) は、D1が約分されて 1/2 となります。

v2 = v1 × (1/2)2

v2 = v1 × (1/4)

したがって、拡大後の管内平均流速は、拡大前の管内平均流速の 1/4 倍となります。

【4】の選択肢は [ア] 1/4, [イ] 1/2, [ウ] 2 です。

計算結果より、正解は [ア] 1/4 です。

• [イ] 1/2: これは、流速が断面積に反比例するのではなく、管の直径に単純に反比例すると誤解した場合に導かれる結果です。しかし、流体の流れは断面積に影響されます。
• [ウ] 2: これは、流速が管の直径に比例すると誤解した場合や、管径が半分になったと誤解した場合に導かれる結果です。管径が2倍になると断面積はDの2乗に比例して4倍になるため、流速は1/4になります。