解説 - 問題 2

【文脈の判断】

提示された小問リストを確認しました。小問1と小問2は、それぞれ「光と照度に関する国際単位系(SI)」と「黒体放射に関する物理法則」という異なるテーマを扱っており、お互いに計算結果や条件を引き継ぐものではありません。したがって、これらの小問は『独立した問題』として、それぞれ個別に解説を進めてまいります。

この問題は、光に関する国際単位系（SI）の基本単位と組立単位の理解、そして基本的な照度計算能力を問うものです。

• 【1】の解説：点光源から放出される光束の総和

  光束の定義より、「すべての方向に対して1cdの光度を持つ点光源が立体角1srの中に放出する光束が1lmである」とあります。

  点光源からすべての方向（全球方向）に放出される光束の総和を求めるには、全球の立体角を知る必要があります。球全体の立体角は常に $4\pi$ ステラジアン [sr] です。

  したがって、1cdの点光源から全球に一様に放出された光束の総和は、

  $\text{光束} = \text{光度} \times \text{立体角} = 1 \text{ cd} \times 4\pi \text{ sr} = 4\pi \text{ lm}$

  となります。

  正解値：4π

• 【A a.b×$10^c$】の解説：照度の計算

  3000lmのプロジェクターの全光束が、高さ1.5m、幅2.0mのスクリーン全面に均等に照射されたときの照度を求めます。

  適用すべき公式：
  照度 $E$ [lx] は、受光面に均等に照射される光束 $F$ [lm] を、受光面の面積 $S$ [m$^2$] で割った値として定義されます。

  $$E = \frac{F}{S}$$

  計算過程：

  1. まず、スクリーン全面の面積 $S$ を計算します。
     スクリーンの高さ $h = 1.5 \text{ m}$
     スクリーンの幅 $w = 2.0 \text{ m}$

     $S = h \times w = 1.5 \text{ m} \times 2.0 \text{ m} = 3.0 \text{ m}^2$

  2. 次に、この面積に照射される照度 $E$ を計算します。
     光束 $F = 3000 \text{ lm}$
     面積 $S = 3.0 \text{ m}^2$

     $E = \frac{F}{S} = \frac{3000 \text{ lm}}{3.0 \text{ m}^2} = 1000 \text{ lx}$

  3. 最後に、解答形式「【A】 $\times 10^{【a】}$ [lx]」に合わせて数値を表現します。
     $1000 \text{ lx} = 1.0 \times 10^3 \text{ lx}$

  したがって、【A】に入る数値は $1.0$、指数部分の【a】に入る数値は $3$ となります。

  数値解答の正解値：1.0E+03 (これは $1.0 \times 10^3$ を意味します)

この問題は、黒体放射に関する重要な物理法則であるウィーンの変位則とその応用計算について問うものです。

• 【2】の解説：ピーク波長と熱力学温度の関係

  黒体からの単色放射のピーク波長に関する法則は、「ウィーンの変位則」と呼ばれます。この法則は、黒体からの単色放射のピーク波長 $\lambda_{max}$ は、その熱力学温度 $T$ に反比例するというものです。数式で表すと $\lambda_{max} \cdot T = \text{定数}$ となります。

  正解値：反比例する

• 【3】の解説：法則の名称

  上記の法則は、オーストリアの物理学者ヴィルヘルム・ウィーンが発見したことから「ウィーンの変位則」と呼ばれています。

  正解値：ウィーンの変位則

• 【4】の解説：地球の表面温度におけるピーク波長の計算

  ウィーンの変位則 ($\lambda_{max} \cdot T = \text{定数}$) を用いて、地球の表面温度におけるピーク波長を計算します。

  適用すべき公式：
  ウィーンの変位則より、2つの異なる温度での黒体放射のピーク波長と温度の関係は以下のようになります。

  $$\lambda_{max,1} \cdot T_1 = \lambda_{max,2} \cdot T_2$$

  与えられた値：

  • 太陽の表面温度 $T_{太陽} = 6000 \text{ K}$
  • 太陽の単色放射のピーク波長 $\lambda_{max, 太陽} = 0.5 \text{ μm}$
  • 地球の表面温度 $T_{地球} = 300 \text{ K}$

  計算過程：

  1. 地球の単色放射のピーク波長 $\lambda_{max, 地球}$ を求める式に、与えられた値を代入します。 $$\lambda_{max, 地球} = \frac{\lambda_{max, 太陽} \cdot T_{太陽}}{T_{地球}}$$
  2. 数値を代入して計算します。 $$\lambda_{max, 地球} = \frac{0.5 \text{ μm} \times 6000 \text{ K}}{300 \text{ K}}$$ $$\lambda_{max, 地球} = \frac{3000 \text{ μm} \cdot \text{K}}{300 \text{ K}}$$ （ここで単位Kが約分されます） $$\lambda_{max, 地球} = 10 \text{ μm}$$

  したがって、地球の表面温度300Kにおける単色放射のピーク波長は $10 \text{ μm}$ となります。

  正解値：10

これらの解説が、皆様の学習の一助となれば幸いです。もしご不明な点があれば、いつでもご質問ください。