解説 - 問題 1

この問題は、小問1の続きであり、前提条件と小問1で求められた値を用いて断面2での圧力を求めます。

【解答欄 A】

管内の流れは定常で、非圧縮性流体（水）であり、損失は無視できるものとされています。また、縮小管は水平に設置されているため、位置エネルギーの変化もありません。したがって、断面1と断面2の間でベルヌーイの定理を適用できます。

ベルヌーイの定理は次の式で表されます。

p / ρg + u^2 / (2g) + z = 一定

ここで、pは圧力、ρは流体の密度、gは重力加速度、uは平均流速、zは基準面からの高さです。

この問題では、水平な管路なので z1 = z2 となります。また、両辺にgを掛けて整理すると、よりシンプルな形で使用できます。

p1 / ρ + u1^2 / 2 = p2 / ρ + u2^2 / 2

この式をp2について解きます。

p2 / ρ = p1 / ρ + (u1^2 - u2^2) / 2

p2 = p1 + ρ * (u1^2 - u2^2) / 2

ここで、与えられた値と小問1で求めた値を確認します。

• 上流側（断面1）の圧力 p1 = 200 kPa = 200 × 10^3 Pa
• 上流側（断面1）の平均流速 u1 = 10.0 m/s
• 下流側（断面2）の平均流速 u2 = 20.4 m/s (小問1で計算)
• 水の密度 ρ = 1.00 × 10^3 kg/m^3

これらの値を代入して計算します。

まず、流速の2乗を計算します。

• u1^2 = (10.0 m/s)^2 = 100 m^2/s^2
• u2^2 = (20.4 m/s)^2 = 416.16 m^2/s^2

ここで、小問1でu2が20.4 m/sと与えられていますが、計算の精度を上げるため、u2を導出した元の計算（Qv / A2）をもう少し正確に見てみましょう。

• 断面1の断面積 A1 = π * (d1/2)^2 = π * (0.100 m / 2)^2 = π * (0.050 m)^2 = 0.0025π m^2
• 体積流量 Qv = A1 * u1 = 0.0025π m^2 * 10.0 m/s = 0.025π m^3/s
• 断面2の断面積 A2 = π * (d2/2)^2 = π * (0.070 m / 2)^2 = π * (0.035 m)^2 = 0.001225π m^2
• u2 = Qv / A2 = (0.025π m^3/s) / (0.001225π m^2) = 0.025 / 0.001225 = 20.40816... m/s

このより正確なu2の値を使ってu2^2を計算します。

u2^2 = (20.40816... m/s)^2 = 416.4938... m^2/s^2

次に、p2を計算します。

p2 = 200 × 10^3 Pa + (1.00 × 10^3 kg/m^3) * (100 m^2/s^2 - 416.4938... m^2/s^2) / 2

p2 = 200 × 10^3 Pa + (1.00 × 10^3 kg/m^3) * (-316.4938... m^2/s^2) / 2

p2 = 200 × 10^3 Pa + (1.00 × 10^3 kg/m^3) * (-158.2469... m^2/s^2)

p2 = 200 × 10^3 Pa - 158246.9... Pa

p2 = 41753.0... Pa

これをkPaに変換し、有効数字3桁で丸めます。

p2 ≈ 41.753 kPa ≈ 41.8 kPa

したがって、断面2での圧力p2は 41.8 kPa となります。

【Aの正解】 41.8 kPa