解説 - 問題 1

縮小管に働く力 F を求めるには、運動量保存の法則（運動量方程式）を用います。コントロールボリュームとして、断面1から断面2までの流体部分を考えます。定常流であると仮定し、流れの方向をx軸の正の方向とします。

運動量方程式は次の通りです。

ΣF_x = ρQv (u2 - u1)

ここで、ΣF_x はコントロールボリュームに作用するx方向の外力の総和です。これらの外力は以下の通りです。

• 断面1での圧力による力：p1 * A1 (x方向正)
• 断面2での圧力による力：-p2 * A2 (x方向負)
• 縮小管が流体に及ぼす力：R_x (仮にx方向正とします)

したがって、運動量方程式は次のようになります。

p1 * A1 - p2 * A2 + R_x = ρQv (u2 - u1)

ここで求めたい「縮小管に働く力 F」は、流体が縮小管に及ぼす力であり、これは管が流体に及ぼす力 R_x の反作用です。したがって、F = -R_x となります。

F = -(ρQv (u2 - u1) - p1 * A1 + p2 * A2)

F = p1 * A1 - p2 * A2 - ρQv (u2 - u1)

各値を計算します。正確な計算のため、直径から直接断面積を求め、体積流量と流速もπを含む形で使用します。小問1および小問2で示された値は、この厳密な計算結果を丸めたものとして扱います。

1. 断面積の計算

上流側断面1の断面積 A1:

d1 = 100 mm = 0.100 m

A1 = π * (d1/2)^2 = π * (0.100 / 2)^2 = π * (0.050)^2 = 0.0025π m^2

下流側断面2の断面積 A2:

d2 = 70.0 mm = 0.070 m

A2 = π * (d2/2)^2 = π * (0.070 / 2)^2 = π * (0.035)^2 = 0.001225π m^2

2. 体積流量と下流側平均流速の計算

上流側平均流速 u1 = 10.0 m/s

体積流量 Qv (小問1の正解値 0.0785 m^3/s と整合するようπで計算):

Qv = A1 * u1 = (0.0025π m^2) * (10.0 m/s) = 0.025π m^3/s

下流側平均流速 u2 (小問1の正解値 20.4 m/s と整合するようπで計算):

u2 = Qv / A2 = (0.025π m^3/s) / (0.001225π m^2) = 0.025 / 0.001225 ≈ 20.40816 m/s

3. 下流側圧力の計算（小問2の計算結果を参考に、より正確な値を使用）

ベルヌーイの定理（損失無視、水平管なので位置エネルギー変化なし）より：

p1 + (1/2)ρu1^2 = p2 + (1/2)ρu2^2

p2 = p1 + (1/2)ρ(u1^2 - u2^2)

p1 = 200 kPa = 200,000 Pa

ρ = 1.00 × 10^3 kg/m^3

u1 = 10.0 m/s

u2 ≈ 20.40816 m/s

p2 = 200,000 Pa + (1/2) * (1.00 × 10^3 kg/m^3) * ( (10.0 m/s)^2 - (20.40816 m/s)^2 )

p2 = 200,000 + 500 * (100 - 416.493877...)

p2 = 200,000 + 500 * (-316.493877...)

p2 = 200,000 - 158246.938... = 41753.061... Pa

これは小問2の正解値 41.8 kPa (41,800 Pa) とほぼ一致します。計算の最終精度のため、この厳密な値 p2 = 41753.061 Pa を使用します。

4. 縮小管に働く力 F の計算

F = p1 * A1 - p2 * A2 - ρQv (u2 - u1)

各値を代入します。

• p1 * A1 = 200,000 Pa * 0.0025π m^2 = 500π N
• p2 * A2 = 41753.061 Pa * 0.001225π m^2 ≈ 51.102π N
• ρQv (u2 - u1) = (1.00 × 10^3 kg/m^3) * (0.025π m^3/s) * (20.40816 m/s - 10.0 m/s)
• = 25π * (10.40816) ≈ 260.204π N

したがって、

F = 500π - 51.102π - 260.204π

F = (500 - 51.102 - 260.204)π

F = 188.694π N

π ≈ 3.14159 を用いて計算します。

F = 188.694 * 3.14159 ≈ 592.81 N

これを小数点以下を四捨五入して、整数にすると 593 N となります。

この力は正の値であり、縮小管に働く力 F は流れの方向（x軸正方向）に作用します。

解答欄 【A】:

計算結果より、縮小管に働く力 F は 593 N となります。

これは、流体が縮小管を流れの方向に押し出す力に相当します。