解説 - 問題 18

この小問では、比エンタルピの定義式を全微分し、その結果と小問2で得られた式（3）を組み合わせて、熱量 dq を比エンタルピ dh を用いて表現することを求めています。機械設計技術者として、熱力学の基礎は、例えば蒸気タービンやガスタービン、熱交換器といった熱機関の設計や性能評価において不可欠な知識です。エンタルピは特に、定圧過程における熱のやり取りや流体のエネルギー状態を分析する際に重要な概念となります。

比エンタルピ h は式（4）で h=u+pv と定義されています。この式を全微分し、展開する過程を解説します。

まず、式（4）の両辺を全微分します。

dh=d(u+pv)

右辺は u の微分と pv の微分の和になります。

dh=du+d(pv)

ここで、d(pv) は積の微分法則 d(xy)=xdy+ydx を適用します。この法則は、二つの変数 p と v が共に変化する場合の積の微小変化を表すものです。圧力 p と比容積 v の両方が微小に変化するとき、その積 pv の変化は p が一定で v が変化する場合（pdv）と、v が一定で p が変化する場合（vdp）の和として表されます。

したがって、d(pv)=pdv+vdp となります。

これを元の式に代入すると、

dh=du+pdv+vdp

となります。式（5）は dh=du+【3】の形をしているため、空欄【3】には pdv+vdp が入ります。

• 正解の選択肢: [⑧] pdv+vdp
  上記の導出過程で示された通り、積の微分法則により d(pv) は pdv+vdp となります。
• 他の選択肢が不適切な理由:
  • [①] dq, [②] dwa, [⑤] dT: これらは熱量、仕事、温度変化の記号であり、比エンタルピの定義式を微分して得られる項ではありません。
  • [③] dv, [④] dp: これらは比容積や圧力の微小変化を表すもので、積の微分の一部にしかなりません。
  • [⑥] pdv: これは定圧変化における仕事の微小変化を示しますが、pv の積の微分の一部であり全体ではありません。
  • [⑦] vdp: これも積の微分の一部であり全体ではありません。
  • [⑨] RT, [⑩] cvdT, [⑪] cpdT: これらは理想気体の状態方程式の項や比熱に関わる項であり、エンタルピの微分形とは直接関係ありません。
  • [⑫]～[⑮]: これらは比熱比 κ に関する定数であり、今回の文脈には当てはまりません。

次に、小問3で導出した式 dh=du+pdv+vdp と、小問2の式（3） dq=du+pdv を用いて、 dq を dh を使って表すことを目指します。

先ほど導出した式は、

dh=du+pdv+vdp

この式から、du+pdv の部分を取り出すと、

du+pdv=dh−vdp

となります。

ここで、小問2の式（3）を再度確認します。

dq=du+pdv

この式（3）の右辺 du+pdv の部分を、dh−vdp に置き換えることができます。

したがって、

dq=dh−vdp

となります。式（6）は dq=dh−【4】の形をしているため、空欄【4】には vdp が入ります。

• 正解の選択肢: [⑦] vdp
  上記の導出過程で示された通り、dq=dh−vdp となるため、空欄【4】には vdp が入ります。この式は、比エンタルピを用いることで熱量変化 dq を表す際に、圧力変化に伴う項を考慮する必要があることを示しています。定圧過程（dp=0）であれば dq=dh となり、エンタルピ変化が熱量変化と等しくなるという重要な関係を示唆しています。
• 他の選択肢が不適切な理由:
  • [①] dq, [②] dwa, [③] dv, [④] dp, [⑤] dT: これらは単体の変数や微小変化の記号であり、空欄に入るべき複合的な項ではありません。
  • [⑥] pdv: これは仕事の項であり、dh から差し引かれるべき項ではありません。
  • [⑧] pdv+vdp: これは d(pv) の項であり、符号も場所も異なります。
  • [⑨]～[⑮]: これらは今回の文脈には当てはまりません。