解説 - 問題 4

次の各文章の【1】及び【2】の中に入れるべき最も適切な式を<【1】及び【2】の解答群>から選び、その記号を答えよ。
また、【A a.bc】～【I a.bc×$10^d$】に当てはまる数値を計算し、その結果を答えよ。ただし、解答は解答すべき数値の最小位の一つ下の位で四捨五入することとし、対数の計算においては表の数値を用いること。(配点計50点)

ピストンの付いたシリンダ内に、圧力2MPa、温度300Kの空気が10kg入っており、ピストンが静止するように外から力が加えられている。
ピストンは可逆的に動き、空気の漏れは全くないものとし、空気は理想気体として考えられるものとする。
ここで、空気の定容比熱$c_v$を0.7171kJ/(kg·K)、ガス定数$R$を0.2872kJ/(kg·K)とする。
なお、空気について、$P$は圧力、$T$は温度、$V$は体積、$S$はエントロピー、$U$は内部エネルギーを示し、各状態点での熱力学的状態量を表すそれらの記号には、その状態点の番号を添え字として用いることとする。

1) 初期の状態を状態1とすると、このときのシリンダ内の空気の圧力$P_1$が2MPa、温度$T_1$が300Kであることから、体積$V_1$は【A】×$10^{-1}$[$m^3$]である。

2) ピストンにさらに外から力を加えることにより、シリンダ内の空気が、状態1から等温の状態で圧縮され、圧力が4MPaとなった。この状態を状態2とすると、このときのシリンダ内の空気の圧力$P_2$が4MPa、温度$T_2$が300Kであることから、体積$V_2$は【B】×$10^{-1}$[$m^3$]であり、状態1から状態2へ変化する間に外部から空気に付与された仕事$Z_{12}$は【C】 \times 10^{【c】}[kJ]である。

3) 次に、状態2から内部の空気を等圧のもとで加熱したところ、温度が300Kから400Kとなった。この状態を状態3とすると、このとき空気に加えられた熱量Qは空気の定圧比熱を用いて求めることができる。ここで、空気の定圧比熱$c_p$は、関係式【1】から求めることができ、その値は【D】[kJ/(kg·K)]となる。したがって、$Q$は【E】 \times 10^{【e】}[kJ]となる。
また、この加熱による空気の内部エネルギーの増加量$\Delta U$は【F】 \times 10^{【f】}[kJ]であり、空気が外部になした仕事$L_{23}$は【G】 \times 10^{【g】}[kJ]である。さらに、エントロピーの増加量$\Delta S$は【H】 \times 10^{【h】}[kJ/K]となる。

4) 状態3の空気が有する有効エネルギーについて考える。
シリンダ内の空気が周囲環境と平衡状態になるまでに得られる最大仕事が有効エネルギーである。したがって、状態3の空気が有する有効エネルギー$E$は、周囲環境の状態量を添え字eで示すこととすると、次式で表すことができる。
$E$=【2】
ここで、周囲環境の圧力$P_e$が100kPa、温度$T_e$が300Kであるとすると、状態3の圧力$P_3$が4MPa、温度$T_3$が400Kなので、有効エネルギー$E$の値は【I】 \times 10^{【i】}[kJ]となる。